Математический анализ Примеры

$\frac{x - 3}{x^{3} + 3 x}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x - 3}{x \cdot x^{2} + 3 x}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$\frac{x - 3}{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot 3$ .

$\frac{x - 3}{x (x^{2} + 3)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x (x^{2} + 3))}{x (x^{2} + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 3) (x (x^{2} + 3))}{x (x^{2} + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Этап 1.5.2

Разделим $x - 3$ на $1$ .

$x - 3 = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$x - 3 = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $A (x^{2} + 3)$ на $1$ .

$x - 3 = A (x^{2} + 3) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 3 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Этап 1.6.3

Перенесем $3$ влево от $A$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B x + C) (x)$ на $1$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + (B x + C) (x)$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x + C x$

Этап 1.6.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1

Перенесем $x$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x) + C x$

Этап 1.6.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} + C x$

Этап 1.7

Перенесем $3 A$ .

$x - 3 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 3 A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 3 = 3 A$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = C$

$- 3 = 3 A$

$0 = A + B$

$1 = C$

$- 3 = 3 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 1$ .

$C = 1$

$0 = A + B$

$- 3 = 3 A$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $C$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем уравнение в виде $3 A = - 3$ .

$3 A = - 3$

$C = 1$

$0 = A + B$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $3 A = - 3$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $3 A = - 3$ на $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $3$ .

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $A$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 1$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

Этап 3.4

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

$C = 1$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$B = 1$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$C = 1$

Этап 3.5

Решим систему уравнений.

$B = 1 A = - 1 C = 1$

Этап 3.6

Перечислим все решения.

$B = 1, A = - 1, C = 1$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{1 x + 1}{x^{2} + 3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 1}{x^{2} + 3}$

Этап 5.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$