Математический анализ Примеры

$\frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 6)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Этап 1.2

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 6}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 3) (x + 6)$ .

$\frac{(3 x - 1) (x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x - 1) (x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(3 x - 1) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x - 1) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.5.2

Разделим $3 x - 1$ на $1$ .

$3 x - 1 = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$3 x - 1 = \frac{A (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $(A) (x + 6)$ на $1$ .

$3 x - 1 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x - 1 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.6.3

Перенесем $6$ влево от $A$ .

$3 x - 1 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$3 x - 1 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B) (x - 3)$ на $1$ .

$3 x - 1 = A x + 6 A + (B) (x - 3)$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x - 1 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 3$

Этап 1.6.6

Перенесем $- 3$ влево от $B$ .

$3 x - 1 = A x + 6 A + B x - 3 B$

Этап 1.7

Перенесем $6 A$ .

$3 x - 1 = A x + B x + 6 A - 3 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$3 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 1 = 6 A - 3 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$3 = A + B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

$3 = A + B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $3 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 3$ .

$A + B = 3$

$- 1 = 6 A - 3 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 3 - B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $3 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 1 = 6 A - 3 B$ на $3 - B$ .

$- 1 = 6 (3 - B) - 3 B$

$A = 3 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $6 (3 - B) - 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = 6 \cdot 3 + 6 (- B) - 3 B$

$A = 3 - B$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $6$ на $3$ .

$- 1 = 18 + 6 (- B) - 3 B$

$A = 3 - B$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 1 = 18 - 6 B - 3 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 6 B - 3 B$

$A = 3 - B$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $3 B$ из $- 6 B$ .

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $- 1 = 18 - 9 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $18 - 9 B = - 1$ .

$18 - 9 B = - 1$

$A = 3 - B$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $18$ из обеих частей уравнения.

$- 9 B = - 1 - 18$

$A = 3 - B$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $18$ из $- 1$ .

$- 9 B = - 19$

$A = 3 - B$

$- 9 B = - 19$

$A = 3 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- 9 B = - 19$ на $- 9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- 9 B = - 19$ на $- 9$ .

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{19}{9}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 3 - B$ на $\frac{19}{9}$ .

$A = 3 - (\frac{19}{9})$

$B = \frac{19}{9}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $3 - (\frac{19}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$A = 3 \cdot \frac{9}{9} - \frac{19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Этап 3.4.2.1.2

Объединим $3$ и $\frac{9}{9}$ .

$A = \frac{3 \cdot 9}{9} - \frac{19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Этап 3.4.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{3 \cdot 9 - 19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Этап 3.4.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.4.1

Умножим $3$ на $9$ .

$A = \frac{27 - 19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Этап 3.4.2.1.4.2

Вычтем $19$ из $27$ .

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{8}{9}, B = \frac{19}{9}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 6}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{8}{9}}{x - 3} + \frac{\frac{19}{9}}{x + 6}$