Математический анализ Примеры

$(3 t - 1) {(6 t - 4)}^{- 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = 3 t - 1$ и $g (t) = {(6 t - 4)}^{- 1}$ .

$(3 t - 1) \frac{d}{d t} [{(6 t - 4)}^{- 1}] + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = 6 t - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 t - 4$ .

$(3 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [6 t - 4]) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$(3 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [6 t - 4]) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 t - 4$ .

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} \frac{d}{d t} [6 t - 4]) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $6 t - 4$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Этап 3.2

Поскольку $6$ является константой относительно $t$ , производная $6 t$ по $t$ равна $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Этап 3.4

Умножим $6$ на $1$ .

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (6 + \frac{d}{d t} [- 4])) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Этап 3.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $t$ , производная $- 4$ относительно $t$ равна $0$ .

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} (6 + 0)) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $6$ и $0$ .

$(3 t - 1) (- {(6 t - 4)}^{- 2} \cdot 6) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Этап 3.6.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} \frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $3 t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Этап 3.8

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Этап 3.10

Умножим $3$ на $1$ .

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (3 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Этап 3.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} (3 + 0)$

Этап 3.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Добавим $3$ и $0$ .

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + {(6 t - 4)}^{- 1} \cdot 3$

Этап 3.12.2

Перенесем $3$ влево от ${(6 t - 4)}^{- 1}$ .

$(3 t - 1) (- 6 {(6 t - 4)}^{- 2}) + 3 \cdot {(6 t - 4)}^{- 1}$

Этап 3.12.3

Изменим порядок членов.

$- 6 {(6 t - 4)}^{- 2} (3 t - 1) + 3 {(6 t - 4)}^{- 1}$