Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{s + k e^{s}}$

Этап 1

Перепишем $\frac{1}{s + k e^{s}}$ в виде ${(s + k e^{s})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d s} [{(s + k e^{s})}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ имеет вид $f' (g (s)) g' (s)$ , где $f (s) = s^{- 1}$ и $g (s) = s + k e^{s}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $s + k e^{s}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $s + k e^{s}$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $s + k e^{s}$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}]$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

Этап 3.3

Поскольку $k$ является константой относительно $s$ , производная $k e^{s}$ по $s$ равна $k \frac{d}{d s} [e^{s}]$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k \frac{d}{d s} [e^{s}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [a^{s}]$ имеет вид $a^{s} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k e^{s})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$

Этап 5.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$ .

$- (1 + k e^{s}) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 1 \cdot 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(- 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Этап 5.5

Умножим $- 1 - k e^{s}$ на $\frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$ .

$\frac{- 1 - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Этап 5.6

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- k e^{s}$ .

$\frac{- 1 (1) - (k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Этап 5.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (k e^{s})$ .

$\frac{- 1 (1 + k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Этап 5.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1 + k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$