Математический анализ Примеры

$\frac{1 + \ln (t)}{1 - \ln (t)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = 1 + \ln (t)$ и $g (t) = 1 - \ln (t)$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 + \ln (t)] - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 + \ln (t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\ln (t)]) - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) (0 + \frac{d}{d t} [\ln (t)]) - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)] - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 3

Производная $\ln (t)$ по $t$ равна $\frac{1}{t}$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $1 - \ln (t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- \ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [- \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- \ln (t)$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (- \frac{d}{d t} [\ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 4.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + 1 (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 4.5.2

Умножим $1 + \ln (t)$ на $1$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 5

Производная $\ln (t)$ по $t$ равна $\frac{1}{t}$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим противоположные члены в $1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{1}{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Добавим $- \ln (t) \frac{1}{t}$ и $\ln (t) \frac{1}{t}$ .

$\frac{1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + 0}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 6.3.1.2

Добавим $1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}$ и $0$ .

$\frac{1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 6.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{1}{t}$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 6.3.2.2

Умножим $\frac{1}{t}$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{t} + \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 + 1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 6.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем $\frac{\frac{2}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$ в виде произведения.

$\frac{2}{t} \cdot \frac{1}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Этап 6.4.2

Умножим $\frac{2}{t}$ на $\frac{1}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$ .

$\frac{2}{t {(1 - \ln (t))}^{2}}$