Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x) \csc (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \cos (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.3

Умножим $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.3.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ в числитель.

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.4.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.6

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 4.2.7

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.3

Добавим $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$0$