Математический анализ Примеры

f (x) = \sin (x) \csc (x)

$f (x) = \sin (x) \csc (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где

f (x) = \sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ и

g (x) = \csc (x)

$g (x) = \csc (x)$ .

\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2

Производная

\csc (x)

$\csc (x)$ по

x

$x$ равна

- \csc (x) \cot (x)

$- \csc (x) \cot (x)$ .

\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3

Производная

\sin (x)

$\sin (x)$ по

x

$x$ равна

\cos (x)

$\cos (x)$ .

\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \cos (x)

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \cos (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

- \cot (x) \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Выразим

\cot (x)

$\cot (x)$ через синусы и косинусы.

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.2

Выразим

\csc (x)

$\csc (x)$ через синусы и косинусы.

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.3

Умножим

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим

\frac{1}{\sin (x)}

$\frac{1}{\sin (x)}$ на

\frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.3.2

Возведем

\sin (x)

$\sin (x)$ в степень

1

$1$ .

- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.3.3

Возведем

\sin (x)

$\sin (x)$ в степень

1

$1$ .

- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.3.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.3.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель

\sin (x)

$\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ в числитель.

\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.4.2

Вынесем множитель

\sin (x)

$\sin (x)$ из

\sin^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ .

\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.4.3

Сократим общий множитель.

\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.4.4

Перепишем это выражение.

\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Этап 4.2.6

Выразим

\csc (x)

$\csc (x)$ через синусы и косинусы.

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 4.2.7

Объединим

\cos (x)

$\cos (x)$ и

\frac{1}{\sin (x)}

$\frac{1}{\sin (x)}$ .

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 4.3

Добавим

- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и

\frac{\cos (x)}{\sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

0

$0$

0

$0$