Математический анализ Примеры

$p (x) = \ln (- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.8

Поскольку $72$ является константой относительно $x$ , производная $72 x$ по $x$ равна $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 72 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.10

Умножим $72$ на $1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 72 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.11

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 72 + 0)$

Этап 2.12

Добавим $- 3 x^{2} + 6 x + 72$ и $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 72)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 72)$ .

$(- 3 x^{2} + 6 x + 72) \frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.2

Умножим $- 3 x^{2} + 6 x + 72$ на $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 72}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2} + 6 x + 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 6 x + 72}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 72}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $72$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (24)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.3.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (24)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.3.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (24)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 24)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 24 = - 24$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 (x) + 24)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.3.2.1.2

Запишем $2$ как $- 4$ плюс $6$

$\frac{3 (- x^{2} + (- 4 + 6) x + 24)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (- x^{2} - 4 x + 6 x + 24)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{3 ((- x^{2} - 4 x) + 6 x + 24)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.3.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 (x (- x - 4) - 6 (- x - 4))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.3.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 4$ .

$\frac{3 ((- x - 4) (x - 6))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 4) (x - 6)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 4) (x - 6)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.5

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (4)) (x - 6)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{3 (- (x + 4)) (x - 6)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.7

Перепишем $- (x + 4)$ в виде $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- (x^{3}) + 3 x^{2} + 72 x + 1}$

Этап 3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 72 x + 1}$

Этап 3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) + 72 x + 1}$

Этап 3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $72 x$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 72 x) + 1}$

Этап 3.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 72 x)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x) + 1}$

Этап 3.13

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x) - 1 (- 1)}$

Этап 3.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 1)}$

Этап 3.15

Перепишем $- (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 1)$ в виде $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 1)}$

Этап 3.16

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 1 (x + 4)) (x - 6)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 1)}$

Этап 3.17

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (x + 4) (x - 6)}{x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 1}$