Математический анализ Примеры

$f (x) = {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 6 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x - 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x - 2$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Этап 2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Этап 3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(6 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(6 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Этап 6.3

Перенесем ${(6 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x - 2]$

Этап 7

По правилу суммы производная $6 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 8

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 10

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 11

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

Этап 12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

Этап 12.2

Объединим $\frac{1}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ и $6$ .

$\frac{6}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{{(6 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$