Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (e^{x^{2}} + 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = e^{x^{2}} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{x^{2}} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{x^{2}} + 1$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

Этап 2

По правилу суммы производная $e^{x^{2}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + 0)$

Этап 4.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $e^{x^{2}} (2 x)$ и $0$ .

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x))$

Этап 4.3.2

Объединим $e^{x^{2}}$ и $\frac{1}{e^{x^{2}} + 1}$ .

$\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} (2 x)$

Этап 4.3.3

Объединим $2$ и $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ .

$\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} x$

Этап 4.3.4

Объединим $\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ и $x$ .

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2}} x$ .

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$ .

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$