Математический анализ Примеры

$f (x) = (3 x + 4) (4 x - 5)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 x + 4$ и $g (x) = 4 x - 5$ .

$(3 x + 4) \frac{d}{d x} [4 x - 5] + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(3 x + 4) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x + 4) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 x + 4) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Этап 2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$(3 x + 4) (4 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Этап 2.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x + 4) (4 + 0) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $4$ и $0$ .

$(3 x + 4) \cdot 4 + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Этап 2.6.2

Перенесем $4$ влево от $3 x + 4$ .

$4 \cdot (3 x + 4) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} [3 x + 4]$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $3 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.10

Умножим $3$ на $1$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.11

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) (3 + 0)$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $3$ и $0$ .

$4 (3 x + 4) + (4 x - 5) \cdot 3$

Этап 2.12.2

Перенесем $3$ влево от $4 x - 5$ .

$4 (3 x + 4) + 3 \cdot (4 x - 5)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (3 x) + 4 \cdot 4 + 3 (4 x - 5)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (3 x) + 4 \cdot 4 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x + 4 \cdot 4 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5$

Этап 3.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$12 x + 16 + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5$

Этап 3.3.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x + 16 + 12 x + 3 \cdot - 5$

Этап 3.3.4

Умножим $3$ на $- 5$ .

$12 x + 16 + 12 x - 15$

Этап 3.3.5

Добавим $12 x$ и $12 x$ .

$24 x + 16 - 15$

Этап 3.3.6

Вычтем $15$ из $16$ .

$24 x + 1$