Математический анализ Примеры

$e^{x} - e^{y} = x - y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (e^{x} - e^{y}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $e^{x} - e^{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{y}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$e^{x} - (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$e^{x} - e^{y} y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- e^{y} y' + e^{x}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 - y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- e^{y} y' + e^{x} = 1 - y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $- e^{y} y' + e^{x}$ .

$- y' e^{y} + e^{x} = 1 - y'$

Этап 5.2

Добавим $y'$ к обеим частям уравнения.

$- y' e^{y} + e^{x} + y' = 1$

Этап 5.3

Вычтем $e^{x}$ из обеих частей уравнения.

$- y' e^{y} + y' = 1 - e^{x}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $- y' e^{y} + y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $- y' e^{y}$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

Этап 5.4.2

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1 = 1 - e^{x}$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 1 e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

Этап 5.5

Перепишем $- 1 e^{y}$ в виде $- e^{y}$ .

$y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

Этап 5.6

Разделим каждый член $y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ на $- e^{y} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ на $- e^{y} + 1$ .

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $- e^{y} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Этап 5.6.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} - \frac{e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Этап 5.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Этап 5.6.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{y}$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) + 1}$

Этап 5.6.3.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) - 1 (- 1)}$

Этап 5.6.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e^{y}) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y} - 1)}$

Этап 5.6.3.6

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.6.1

Перепишем $- (e^{y} - 1)$ в виде $- 1 (e^{y} - 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- 1 (e^{y} - 1)}$

Этап 5.6.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$