Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} (2 x^{2} - 1)$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4} (2 x^{2} - 1)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4} (2 x^{2} - 1)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4} (2 x^{2} - 1)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 2 x^{2} - 1$ .

$3 (x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (x^{4} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$3 (x^{4} (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (x^{4} (4 x + 0) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.6

Добавим $4 x$ и $0$ .

$3 (x^{4} (4 x) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x^{4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (x^{1} x^{4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (x^{1 + 4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.3

Добавим $1$ и $4$ .

$3 (x^{5} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 5

Перенесем $4$ влево от $x^{5}$ .

$3 (4 \cdot x^{5} + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{5} + (2 x^{2} - 1) (4 x^{3}))$

Этап 7

Перенесем $4$ влево от $2 x^{2} - 1$ .

$3 (4 x^{5} + 4 \cdot (2 x^{2} - 1) x^{3})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (4 x^{5} + (4 (2 x^{2}) + 4 \cdot - 1) x^{3})$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (4 x^{5} + 4 (2 x^{2}) x^{3} + 4 \cdot - 1 x^{3})$

Этап 8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (4 x^{5}) + 3 (4 (2 x^{2}) x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Этап 8.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{5} + 3 (4 (2 x^{2}) x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Этап 8.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$12 x^{5} + 3 (8 x^{2} x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Этап 8.4.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.3.1

Перенесем $x^{3}$ .

$12 x^{5} + 3 (8 (x^{3} x^{2})) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Этап 8.4.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{5} + 3 (8 x^{3 + 2}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Этап 8.4.3.3

Добавим $3$ и $2$ .

$12 x^{5} + 3 (8 x^{5}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Этап 8.4.4

Умножим $8$ на $3$ .

$12 x^{5} + 24 x^{5} + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Этап 8.4.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$12 x^{5} + 24 x^{5} + 3 (- 4 x^{3})$

Этап 8.4.6

Умножим $- 4$ на $3$ .

$12 x^{5} + 24 x^{5} - 12 x^{3}$

Этап 8.4.7

Добавим $12 x^{5}$ и $24 x^{5}$ .

$36 x^{5} - 12 x^{3}$