Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\csc (3 x)}{\cot (3 x)}$

Этап 1

Выразим $\cot (3 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{d}{d x} [\frac{\csc (3 x)}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}]$

Этап 2

Выразим $\csc (3 x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{1}{\sin (3 x)}}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}]$

Этап 3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]$

Этап 4

Сократим общий множитель $\sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cos (3 x)}]$

Этап 5

Переведем $\frac{1}{\cos (3 x)}$ в $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Этап 6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 6.2

Производная $\sec (u)$ по $u$ равна $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Этап 7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Этап 7.3.2

Перенесем $3$ влево от $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$