Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{2} - 9$ .

$\frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2} - 9$ .

$\frac{3 \cdot (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 (x^{1} x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 5

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 6.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 6.3.1.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 6.3.1.2

Умножим $3$ на $- 9$ .

$\frac{3 x^{4} - 27 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 6.3.2

Вычтем $2 x^{4}$ из $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 6.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 27 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 27 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 6.4.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 6.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Этап 6.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Этап 6.5.3

Применим правило умножения к $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$