Математический анализ Примеры

$f (x) = 10^{x \cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 10^{x}$ и $g (x) = x \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [10^{u}] \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $10$ .

$10^{u} \ln (10) \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x \cos (x)$ .

$10^{x \cos (x)} \ln (10) \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Этап 4.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10^{x \cos (x)} \ln (10) (x (- \sin (x))) + 10^{x \cos (x)} \ln (10) \cos (x)$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$- 10^{x \cos (x)} x \sin (x) \ln (10) + 10^{x \cos (x)} \cos (x) \ln (10)$