Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 1}{x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 1] - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.6

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.8

Добавим $2 x - 3$ и $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 1) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 2.10

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x}{x^{4}}$

Этап 2.10.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (2 x - 3)$ .

$\frac{x (x (2 x - 3)) - 2 (x^{2} - 3 x + 1) x}{x^{4}}$

Этап 2.10.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (x^{2} - 3 x + 1) x$ .

$\frac{x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x^{4}}$

Этап 2.10.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} - 3 x + 1))$ .

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x^{4}}$

Этап 3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x + 1)}{x^{3}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} - 3 x + 1)}{x^{3}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 4.3.1.3

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 4.3.1.4

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2 \cdot 1}{x^{3}}$

Этап 4.3.1.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2}{x^{3}}$

Этап 4.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} + 6 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x + 0 + 6 x - 2}{x^{3}}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $- 3 x$ и $0$ .

$\frac{- 3 x + 6 x - 2}{x^{3}}$

Этап 4.3.3

Добавим $- 3 x$ и $6 x$ .

$\frac{3 x - 2}{x^{3}}$