Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{(x + 5) (x^{2} + 5)}{x - 8}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = (x + 5) (x^{2} + 5)$ и $g (x) = x - 8$ .

$\frac{(x - 8) \frac{d}{d x} [(x + 5) (x^{2} + 5)] - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 5$ и $g (x) = x^{2} + 5$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5] + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x + 0) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x - 8) ((x + 5) (2 x) + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Перенесем $2$ влево от $x + 5$ .

$\frac{(x - 8) (2 \cdot (x + 5) x + (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x + 5]) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (1 + \frac{d}{d x} [5])) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) (1 + 0)) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + (x^{2} + 5) \cdot 1) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3.8.2

Умножим $x^{2} + 5$ на $1$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x - 8]}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3.9

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3.11

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5) \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 3.12.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x + 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 8) ((2 x + 2 \cdot 5) x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 8) (2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) - (x + 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 8) (2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{(x - 8) (2 (x \cdot x) + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{(x - 8) (2 x^{2} + 2 \cdot 5 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.1.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{(x - 8) (2 x^{2} + 10 x + x^{2} + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.2

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{(x - 8) (3 x^{2} + 10 x + 5) + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.3

Развернем $(x - 8) (3 x^{2} + 10 x + 5)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x (10 x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + x \cdot 5 - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.5

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 \cdot x - 8 (3 x^{2}) - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.6

Умножим $3$ на $- 8$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 8 (10 x) - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.7

Умножим $10$ на $- 8$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 80 x - 8 \cdot 5 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.8

Умножим $- 8$ на $5$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + 5 x - 24 x^{2} - 80 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.5

Вычтем $24 x^{2}$ из $10 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} + 5 x - 80 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.6

Вычтем $80 x$ из $5 x$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 + (- x - 1 \cdot 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.7

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 + (- x - 5) (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.8

Развернем $(- x - 5) (x^{2} + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x (x^{2} + 5) - 5 (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x \cdot x^{2} - x \cdot 5 - 5 (x^{2} + 5)}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x \cdot x^{2} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.9.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.9.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - (x^{2} x) - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.9.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.9.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.9.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{2 + 1} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.9.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - x \cdot 5 - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.9.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - 5 x - 5 x^{2} - 5 \cdot 5}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.1.9.3

Умножим $- 5$ на $5$ .

$\frac{3 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - x^{3} - 5 x - 5 x^{2} - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.2

Вычтем $x^{3}$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 14 x^{2} - 75 x - 40 - 5 x - 5 x^{2} - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.3

Вычтем $5 x^{2}$ из $- 14 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 75 x - 40 - 5 x - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.4

Вычтем $5 x$ из $- 75 x$ .

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 80 x - 40 - 25}{{(x - 8)}^{2}}$

Этап 4.4.5

Вычтем $25$ из $- 40$ .

$\frac{2 x^{3} - 19 x^{2} - 80 x - 65}{{(x - 8)}^{2}}$