Математический анализ Примеры

$f (x) = {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{5}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(2 x - 5)}^{4}$ и $g (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{5}$ .

${(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{5}] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + x + 1$ .

${(2 x - 5)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

${(2 x - 5)}^{4} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + x + 1$ .

${(2 x - 5)}^{4} (5 {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $5$ влево от ${(2 x - 5)}^{4}$ .

$5 \cdot {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + 0) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Этап 3.6

Добавим $2 x + 1$ и $0$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x - 5$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x - 5$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $4$ влево от ${(x^{2} + x + 1)}^{5}$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 \cdot {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Этап 5.2

По правилу суммы производная $2 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 5.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 5)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 5)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 5.5

Умножим $2$ на $1$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 5)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 5.6

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 5)}^{3} (2 + 0)$

Этап 5.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 5)}^{3} \cdot 2$

Этап 5.7.2

Умножим $2$ на $4$ .

$5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 5)}^{3}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель ${(2 x - 5)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ из $5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 5)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель ${(2 x - 5)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ из $5 {(2 x - 5)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1)$ .

${(2 x - 5)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 5) (2 x + 1)) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 5)}^{3}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель ${(2 x - 5)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ из $8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 5)}^{3}$ .

${(2 x - 5)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 5) (2 x + 1)) + {(2 x - 5)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель ${(2 x - 5)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ из ${(2 x - 5)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 5) (2 x + 1)) + {(2 x - 5)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$ .

${(2 x - 5)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 5) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$

Этап 6.2

Изменим порядок множителей в ${(2 x - 5)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 5) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{4} {(2 x - 5)}^{3} (5 (2 x - 5) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$