Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x + 9)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 9$ .

$\frac{2}{3} {(x + 9)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x + 9)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x + 9)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} {(x + 9)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} {(x + 9)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} {(x + 9)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 6.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x + 9)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x + 9)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 6.3

Перенесем ${(x + 9)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Этап 7

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{2}{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 9

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2}{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Этап 10.2

Умножим $\frac{2}{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}}$ на $1$ .

$\frac{2}{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}}$