Математический анализ Примеры

$f (x) = (6 x + 5) (x^{3} - 2)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 6 x + 5$ и $g (x) = x^{3} - 2$ .

$(6 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(6 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Этап 2.4.2

Перенесем $3$ влево от $6 x + 5$ .

$3 \cdot (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $6 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.6

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.8

Умножим $6$ на $1$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.9

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + 0)$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $6$ и $0$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \cdot 6$

Этап 2.10.2

Перенесем $6$ влево от $x^{3} - 2$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + 6 \cdot (x^{3} - 2)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 (6 x) + 3 \cdot 5) x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $6$ на $3$ .

$18 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Этап 3.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$18 (x^{2} x) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Этап 3.4.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$18 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Этап 3.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$18 x^{2 + 1} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Этап 3.4.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$18 x^{3} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Этап 3.4.3

Умножим $3$ на $5$ .

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Этап 3.4.4

Умножим $6$ на $- 2$ .

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} - 12$

Этап 3.4.5

Добавим $18 x^{3}$ и $6 x^{3}$ .

$24 x^{3} + 15 x^{2} - 12$