Математический анализ Примеры

$f (x) = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ и $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 + 0)$

Этап 3.7

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $- 2$ влево от $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x}$

Этап 4.3.2

Добавим $- 2 x e^{x}$ и $e^{x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 x e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $- 2 x e^{x}$ и $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x}$

Этап 4.3.3

Добавим $x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ и $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x}$

Этап 4.3.4

Вычтем $2 e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0$

Этап 4.3.5

Добавим $x^{2} e^{x}$ и $0$ .

$x^{2} e^{x}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2}$

Этап 4.5

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2}$ .

$x^{2} e^{x}$