Математический анализ Примеры

$f (x) = (2 x + 1) (3 x - 2)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 x + 1$ и $g (x) = 3 x - 2$ .

$(2 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(2 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$(2 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 2.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 x + 1) (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$(2 x + 1) \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 2.6.2

Перенесем $3$ влево от $2 x + 1$ .

$3 \cdot (2 x + 1) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.10

Умножим $2$ на $1$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.11

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) (2 + 0)$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $2$ и $0$ .

$3 (2 x + 1) + (3 x - 2) \cdot 2$

Этап 2.12.2

Перенесем $2$ влево от $3 x - 2$ .

$3 (2 x + 1) + 2 \cdot (3 x - 2)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 2 (3 x - 2)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 2$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + 3 \cdot 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$6 x + 3 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x + 3 + 6 x + 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$6 x + 3 + 6 x - 4$

Этап 3.3.5

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$12 x + 3 - 4$

Этап 3.3.6

Вычтем $4$ из $3$ .

$12 x - 1$