Математический анализ Примеры

$x^{2} (120 - x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 120 - x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [120 - x] + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $120 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [120] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [120] + \frac{d}{d x} [- x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Поскольку $120$ является константой относительно $x$ , производная $120$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} \cdot - 1 + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$- 1 \cdot x^{2} + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.6.3

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$- x^{2} + (120 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- x^{2} + (120 - x) (2 x)$

Этап 2.8

Перенесем $2$ влево от $120 - x$ .

$- x^{2} + 2 \cdot (120 - x) x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + (2 \cdot 120 + 2 (- x)) x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + 2 \cdot 120 x + 2 (- x) x$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $120$ .

$- x^{2} + 240 x + 2 (- x) x$

Этап 3.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 x \cdot x$

Этап 3.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 (x^{1} x)$

Этап 3.3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 (x^{1} x^{1})$

Этап 3.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2} + 240 x - 2 x^{1 + 1}$

Этап 3.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- x^{2} + 240 x - 2 x^{2}$

Этап 3.3.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 240 x$