Математический анализ Примеры

$x^{2} \arctan (9 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \arctan (9 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (9 x)] + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(9 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(9 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $9 (x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + 9^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.1.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{1 + 81 x^{2}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x] + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{1 + 81 x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4

Объединим $9$ и $\frac{x^{2}}{1 + 81 x^{2}}$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.6

Умножим $\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}}$ на $1$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} + \arctan (9 x) (2 x)$

Этап 4

Чтобы записать $\arctan (9 x) (2 x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + 81 x^{2}}{1 + 81 x^{2}}$ .

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} + \frac{\arctan (9 x) (2 x) (1 + 81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 x^{2} + \arctan (9 x) (2 x) (1 + 81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 x^{2} + \arctan (9 x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (9 x) (2 x) (81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x \cdot 1 + \arctan (9 x) (2 x) (81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 x) (81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 (x^{2} x)) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Этап 6.2.1.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 (x^{2} x^{1})) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 x^{2 + 1}) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Этап 6.2.1.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 x^{3}) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Этап 6.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + 2 \arctan (9 x) x^{3} \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $81$ на $2$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + 162 \arctan (9 x) x^{3}}{1 + 81 x^{2}}$

Этап 6.2.2

Изменим порядок множителей в $9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + 162 \arctan (9 x) x^{3}$ .

$\frac{9 x^{2} + 2 x \arctan (9 x) + 162 x^{3} \arctan (9 x)}{1 + 81 x^{2}}$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{9 x^{2} + 2 x \arctan (9 x) + 162 x^{3} \arctan (9 x)}{81 x^{2} + 1}$