Математический анализ Примеры

$x^{2} \ln (2 x + 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 1$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2 x + 1}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.7.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2 x + 1}$ и $2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.7.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2}}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) (2 x)$

Этап 4

Чтобы записать $\ln (2 x + 1) (2 x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{2} + \ln (2 x + 1) (2 x) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln (2 x + 1) x (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Этап 6.1.2

Упростим $2 \ln (2 x + 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x (2 x) + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot 1}{2 x + 1}$

Этап 6.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot 1}{2 x + 1}$

Этап 6.1.5

Умножим $\ln ({(2 x + 1)}^{2})$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot x + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Этап 6.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) (x \cdot x) + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Этап 6.1.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Этап 6.1.6.2

Упростим $2 \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Этап 6.1.6.3

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2 \cdot 2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Этап 6.1.6.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

Этап 6.2

Изменим порядок множителей в $2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ .

$\frac{2 x^{2} + x^{2} \ln ({(2 x + 1)}^{4}) + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$