Математический анализ Примеры

$x^{2} \ln (6 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (6 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{6 x}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{6} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $6$ и $\frac{x}{6}$ .

$\frac{6 x}{6} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$x + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x + \ln (6 x) (2 x)$

Этап 3.8

Изменим порядок членов.

$2 x \ln (6 x) + x$