Математический анализ Примеры

$x^{4} \cot (4 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \cot (4 x)$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\cot (4 x)] + \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$x^{4} (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]) + \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$x^{4} (- \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (- \csc^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x^{4} (- 4 \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (- 4 \csc^{2} (4 x) \cdot 1) + \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x^{4} (- 4 \csc^{2} (4 x)) + \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} (- 4 \csc^{2} (4 x)) + \cot (4 x) (4 x^{3})$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$- 4 x^{4} \csc^{2} (4 x) + 4 x^{3} \cot (4 x)$