Математический анализ Примеры

$\frac{x - 1}{e^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{e^{x} (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 2.5.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x} + (- x - - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x} - x e^{x} - - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4.3.2

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$\frac{- x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} x + 2 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{e^{2 x}}$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (- x + 2)}{e^{2 x}}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{x} (- x + 2)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x}}$

Этап 4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{- x} (- x + 2)}{1}$

Этап 4.6.2.4

Разделим $e^{- x} (- x + 2)$ на $1$ .

$e^{- x} (- x + 2)$

Этап 4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 2$

Этап 4.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 2$

Этап 4.9

Перенесем $2$ влево от $e^{- x}$ .

$- e^{- x} x + 2 \cdot e^{- x}$

Этап 4.10

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x + 2 e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + 2 e^{- x}$