Математический анализ Примеры

$\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $x^{2} + y^{2}$ на $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$y \frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 9

Объединим $y$ и $\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{y (- x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y (- x^{2}) + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- y x^{2} + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 10.2.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{- y x^{2} + y^{1} y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 10.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- y x^{2} + y^{1 + 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 10.2.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- y x^{2} + y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$\frac{y^{3} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3} - x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{3}$ .

$\frac{y \cdot y^{2} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 10.4.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- x^{2} y$ .

$\frac{y \cdot y^{2} + y (- x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 10.4.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y^{2} + y (- x^{2})$ .

$\frac{y (y^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 10.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = x$ .

$\frac{y (y + x) (y - x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$