Математический анализ Примеры

$3 x - 5 \cos^{2} (π x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $3 x - 5 \cos^{2} (π x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 \cos^{2} (π x)$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (π x)]$ .

$3 - 5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (π x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (π x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (π x)$ .

$3 - 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 - 5 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (π x)$ .

$3 - 5 (2 \cos (π x) \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $π x$ .

$3 - 5 (2 \cos (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]))$

Этап 3.3.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]))$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $π x$ .

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]))$

Этап 3.4

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) (π \cdot 1)))$

Этап 3.6

Умножим $π$ на $1$ .

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) π))$

Этап 3.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 - 5 (- 2 \cos (π x) (\sin (π x) π))$

Этап 3.8

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$3 + 10 \cos (π x) \sin (π x) π$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$10 π \cos (π x) \sin (π x) + 3$