Математический анализ Примеры

$3 \ln (\frac{1}{x})$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \ln (\frac{1}{x})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{x}$ .

$3 (1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x$ на $1$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$3 x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$3 x (- x^{- 2})$

Этап 6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 x \cdot x^{- 2}$

Этап 7

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$- 3 (x^{- 2} x)$

Этап 7.2

Умножим $x^{- 2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 3 (x^{- 2} x^{1})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 x^{- 2 + 1}$

Этап 7.3

Добавим $- 2$ и $1$ .

$- 3 x^{- 1}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x}$

Этап 8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 3}{x}$

Этап 8.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{x}$