Математический анализ Примеры

$3 \sin (\frac{1}{3} x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{3})]$

Этап 1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (\frac{x}{3})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{3})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{3}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Этап 2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{3}$ .

$3 (\cos (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cos (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\frac{3}{3} \cos (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{3}{3}$ и $\cos (\frac{x}{3})$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3.2

Разделим $\cos (\frac{x}{3})$ на $1$ .

$\cos (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (\frac{x}{3}) \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $\cos (\frac{x}{3})$ на $1$ .

$\cos (\frac{x}{3})$