Математический анализ Примеры

$4 \sin^{2} (3 x)$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin^{2} (3 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (3 x)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (3 x)$ .

$4 (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$8 \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 4.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$8 \sin (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$8 \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \sin (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.2

Умножим $3$ на $8$ .

$24 \sin (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $24$ на $1$ .

$24 \sin (3 x) \cos (3 x)$

Этап 5.4.2

Изменим порядок множителей в $24 \sin (3 x) \cos (3 x)$ .

$24 \cos (3 x) \sin (3 x)$