Математический анализ Примеры

$\frac{x}{1 + x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.2

Умножим $1 + x$ на $1$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.7

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.7.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 2.7.3.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$