Математический анализ Примеры

$\sqrt{\sin (2 x)}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\sin (2 x)}$ в виде ${\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {\sin (2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {\sin (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${\sin (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 7.3

Перенесем ${\sin (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 8.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{1}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 9.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (2 x)}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $2$ и $\frac{\cos (2 x)}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2 {\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (2 x)}{{\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{{\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 9.5

Умножим $\frac{\cos (2 x)}{{\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{\cos (2 x)}{{\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разделим дроби.

$\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{{\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2

Переведем $\frac{1}{{\sin (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ в ${\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{1} {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 10.3

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 10.4

Изменим порядок множителей в $\cos (2 x) {\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${\csc (2 x)}^{\frac{1}{2}} \cos (2 x)$