Математический анализ Примеры

$\log_{3} (e^{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{3} (x)$ и $g (x) = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.2

Производная $\log_{3} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \ln (3)}$ .

$\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} \ln (3)} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} \ln (3)} e^{x}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{e^{x} \ln (3)}$ и $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (3)}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (3)}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\ln (3)}$