Математический анализ Примеры

$e^{7 \ln (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 7 \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 \ln (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 \ln (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 \ln (x)$ .

$e^{7 \ln (x)} \frac{d}{d x} [7 \ln (x)]$

Этап 2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 \ln (x)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$e^{7 \ln (x)} (7 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{7 \ln (x)} (7 \frac{1}{x})$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $7$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{7 \ln (x)} \frac{7}{x}$

Этап 4.2

Объединим $e^{7 \ln (x)}$ и $\frac{7}{x}$ .

$\frac{e^{7 \ln (x)} \cdot 7}{x}$

Этап 4.3

Перенесем $7$ влево от $e^{7 \ln (x)}$ .

$\frac{7 \cdot e^{7 \ln (x)}}{x}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $7 \ln (x)$ путем переноса $7$ под логарифм.

$\frac{7 e^{\ln (x^{7})}}{x}$

Этап 5.1.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{7 x^{7}}{x}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x^{7}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x^{7}$ .

$\frac{x (7 x^{6})}{x}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x (7 x^{6})}{x^{1}}$

Этап 5.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x (7 x^{6})}{x \cdot 1}$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x (7 x^{6})}{x \cdot 1}$

Этап 5.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{7 x^{6}}{1}$

Этап 5.2.2.5

Разделим $7 x^{6}$ на $1$ .

$7 x^{6}$