Математический анализ Примеры

$e^{x} \cos (2 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \cos (2 x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$e^{x} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{x} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{x} (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$e^{x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) e^{x}$

Этап 5

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{x} \sin (2 x) + e^{x} \cos (2 x)$