Математический анализ Примеры

$\sin^{3} (x) \cos (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin^{3} (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Этап 2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Этап 3

Умножим $\sin^{3} (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Этап 3.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Этап 3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Этап 3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $- 1$ влево от $\sin^{4} (x)$ .

$- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Этап 4.2

Перепишем $- 1 \sin^{4} (x)$ в виде $- \sin^{4} (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 6

Перенесем $3$ влево от $\cos (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cdot \cos (x) \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 7

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cos (x) \sin^{2} (x) \cos (x)$

Этап 8

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin^{2} (x)$

Этап 9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin^{2} (x)$

Этап 10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \sin^{4} (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin^{2} (x)$

Этап 11

Добавим $1$ и $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$