Математический анализ Примеры

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) + 1 \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 5.2

Умножим $\tan (x)$ на $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.5

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.8

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.8.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.9

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.10

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.10.1

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.10.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.10.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.1.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.2.5

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.2.6

Разделим дроби.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.2.7

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2.2.8

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \sin (x) \tan (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.4.2

Умножим $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.4.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.4.2.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.4.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.4.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.4.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.4.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.4.5

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.4.6

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.5.2

Разделим дроби.

$\frac{\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.5.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{1} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.5.4

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.5.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.5.6

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.5.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.5.8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$