Математический анализ Примеры

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2

По правилу суммы производная $\sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Этап 5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 1 (\sin (x) + \cos (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6.2

Умножим $\sin (x) + \cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим противоположные члены в $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (x) (- \sin (x))$ и $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.3.1.2

Добавим $- \cos (x) \sin (x)$ и $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + 0}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.3.1.3

Добавим $\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)$ и $0$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.3.2.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.3.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.3.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.3.2.2

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.3.2.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.3.2.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.3.2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.3.3

Переставляем члены.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.3.4

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7.4

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$