Математический анализ Примеры

$\sin^{2} (π x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (π x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (π x)$ .

$2 \sin (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $π x$ .

$2 \sin (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $π x$ .

$2 \sin (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \cdot 1)$

Этап 3.3

Умножим $π$ на $1$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) π$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $2 \sin (π x) \cos (π x) π$ .

$2 π \cos (π x) \sin (π x)$

Этап 4.2

Добавим круглые скобки.

$2 π (\cos (π x) \sin (π x))$

Этап 4.3

Изменим порядок $2 π$ и $\cos (π x) \sin (π x)$ .

$\cos (π x) \sin (π x) (2 π)$

Этап 4.4

Добавим круглые скобки.

$\cos (π x) (\sin (π x) \cdot 2) π$

Этап 4.5

Изменим порядок $\cos (π x)$ и $\sin (π x) \cdot 2$ .

$\sin (π x) \cdot 2 \cos (π x) π$

Этап 4.6

Изменим порядок $\sin (π x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (π x) \cos (π x) π$

Этап 4.7

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 (π x)) π$

Этап 4.8

Изменим порядок множителей в $\sin (2 π x) π$ .

$π \sin (2 π x)$