Математический анализ Примеры

$\frac{\sin (x)}{x^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{x^{3} \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{3} \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Этап 4.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} \cos (x) - 3 \sin (x) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} \cos (x) - 3 \sin (x) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} \cos (x)$ .

$\frac{x^{2} (x \cos (x)) - 3 \sin (x) x^{2}}{x^{6}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 3 \sin (x) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x \cos (x)) + x^{2} (- 3 \sin (x))}{x^{6}}$

Этап 4.2.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x \cos (x)) + x^{2} (- 3 \sin (x))$ .

$\frac{x^{2} (x \cos (x) - 3 \sin (x))}{x^{6}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x \cos (x) - 3 \sin (x))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (x \cos (x) - 3 \sin (x))}{x^{2} x^{4}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x \cos (x) - 3 \sin (x)}{x^{4}}$