Математический анализ Примеры

$\cot^{2} (\cos (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cot (\cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cot (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (\cos (x))]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (\cos (x))]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cot (\cos (x))$ .

$2 \cot (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cot (\cos (x))]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$2 \cot (\cos (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.2

Производная $\cot (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\cos (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$2 \cot (\cos (x)) (- \csc^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \cot (\cos (x)) (\csc^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 2 \cot (\cos (x)) \csc^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \cot (\cos (x)) \csc^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок множителей в $2 \cot (\cos (x)) \csc^{2} (\cos (x)) \sin (x)$ .

$2 \csc^{2} (\cos (x)) \cot (\cos (x)) \sin (x)$

Этап 6.2

Выразим $\csc (\cos (x))$ через синусы и косинусы.

$2 {(\frac{1}{\sin (\cos (x))})}^{2} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

Этап 6.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (\cos (x))}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

Этап 6.4

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

Этап 6.5

Объединим $2$ и $\frac{1}{\sin^{2} (\cos (x))}$ .

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x)) \sin (x)$

Этап 6.6

Выразим $\cot (\cos (x))$ через синусы и косинусы.

$\frac{2}{\sin^{2} (\cos (x))} \cdot \frac{\cos (\cos (x))}{\sin (\cos (x))} \sin (x)$

Этап 6.7

Объединим.

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{2} (\cos (x)) \sin (\cos (x))} \sin (x)$

Этап 6.8

Умножим $\sin^{2} (\cos (x))$ на $\sin (\cos (x))$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Умножим $\sin^{2} (\cos (x))$ на $\sin (\cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1.1

Возведем $\sin (\cos (x))$ в степень $1$ .

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{2} (\cos (x)) \sin^{1} (\cos (x))} \sin (x)$

Этап 6.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{{\sin (\cos (x))}^{2 + 1}} \sin (x)$

Этап 6.8.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{3} (\cos (x))} \sin (x)$

Этап 6.9

Объединим $\frac{2 \cos (\cos (x))}{\sin^{3} (\cos (x))}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (\cos (x)) \sin (x)}{\sin^{3} (\cos (x))}$

Этап 6.10

Вынесем множитель $\sin (\cos (x))$ из $\sin^{3} (\cos (x))$ .

$\frac{2 \cos (\cos (x)) \sin (x)}{\sin (\cos (x)) \sin^{2} (\cos (x))}$

Этап 6.11

Разделим дроби.

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (\cos (x))} \cdot \frac{\cos (\cos (x))}{\sin (\cos (x))}$

Этап 6.12

Переведем $\frac{\cos (\cos (x))}{\sin (\cos (x))}$ в $\cot (\cos (x))$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (\cos (x))} \cot (\cos (x))$

Этап 6.13

Вынесем множитель $\sin (\cos (x))$ из $\sin^{2} (\cos (x))$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\sin (\cos (x)) \sin (\cos (x))} \cot (\cos (x))$

Этап 6.14

Разделим дроби.

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (\cos (x))} \cot (\cos (x))$

Этап 6.15

Перепишем $\frac{\sin (x)}{\sin (\cos (x))}$ в виде произведения.

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\sin (\cos (x))}) \cot (\cos (x))$

Этап 6.16

Запишем $\sin (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (x))}) \cot (\cos (x))$

Этап 6.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.17.1

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\sin (\cos (x))}) \cot (\cos (x))$

Этап 6.17.2

Переведем $\frac{1}{\sin (\cos (x))}$ в $\csc (\cos (x))$ .

$\frac{2}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

Этап 6.18

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\cos (x))} (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

Этап 6.19

Переведем $\frac{1}{\sin (\cos (x))}$ в $\csc (\cos (x))$ .

$\frac{2}{1} \csc (\cos (x)) (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

Этап 6.20

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \csc (\cos (x)) (\sin (x) \csc (\cos (x))) \cot (\cos (x))$

Этап 6.21

Умножим $2 \csc (\cos (x)) (\sin (x) \csc (\cos (x)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.21.1

Возведем $\csc (\cos (x))$ в степень $1$ .

$2 (\csc^{1} (\cos (x)) \csc (\cos (x))) \sin (x) \cot (\cos (x))$

Этап 6.21.2

Возведем $\csc (\cos (x))$ в степень $1$ .

$2 (\csc^{1} (\cos (x)) \csc^{1} (\cos (x))) \sin (x) \cot (\cos (x))$

Этап 6.21.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\csc (\cos (x))}^{1 + 1} \sin (x) \cot (\cos (x))$

Этап 6.21.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \csc^{2} (\cos (x)) \sin (x) \cot (\cos (x))$