Математический анализ Примеры

$5^{- \frac{1}{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 5^{x}$ и $g (x) = - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $5$ .

$5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{1}{x}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.3.2

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + 0)$

Этап 3.5.2

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} x^{- 2} \ln (5)$

Этап 4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x^{2}} \ln (5)$

Этап 4.3

Объединим $5^{- \frac{1}{x}}$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} \ln (5)$

Этап 4.4

Объединим $\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ и $\ln (5)$ .

$\frac{5^{- \frac{1}{x}} \ln (5)}{x^{2}}$