Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{\sin (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\sin (x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 x) - x^{2} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \sin (x) x - x^{2} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.1.2

Изменим порядок множителей в $2 \sin (x) x - x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{2 x \sin (x) - x^{2} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x \sin (x) - x^{2} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x \sin (x)$ .

$\frac{x (2 \sin (x)) - x^{2} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{x (2 \sin (x)) + x (- x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (2 \sin (x)) + x (- x \cos (x))$ .

$\frac{x (2 \sin (x) - x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$