Математический анализ Примеры

$\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2}{\sqrt{x} + 2}]$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2}{x^{\frac{1}{2}} + 2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 2$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2] - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 8.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 9

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 10

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 11

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 12

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 13

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 14

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 16.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 17.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 17.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 18

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 19

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (- x^{\frac{1}{2}} - - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.1

Объединим противоположные члены в $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.1.1

Вычтем $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ из $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.4.1.2

Добавим $2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- - 2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.4.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- - 1) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.4.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.4.2.4

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 + 1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.5.1

Перепишем $\frac{\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$ в виде произведения.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$

Этап 20.5.2

Умножим $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 2)}^{2}}$