Математический анализ Примеры

$\frac{\sin^{2} (3 x)}{\cos (3 x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sin^{2} (3 x)$ и $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\cos (3 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x) (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 3

Перенесем $2$ влево от $\cos (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot \cos (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$\frac{2 \cos (3 x) \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 4.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$\frac{2 \cos (3 x) \sin (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$\frac{2 \cos (3 x) \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 5

Возведем $\cos (3 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (3 x) \cos (3 x)) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 6

Возведем $\cos (3 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x)) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 {\cos (3 x)}^{1 + 1} \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 8.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 8.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1 - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 8.5

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $3 x$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 9.2

Производная $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 9.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $3 x$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 1 \sin^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 10.2

Умножим $\sin^{2} (3 x)$ на $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 11

Умножим $\sin^{2} (3 x)$ на $\sin (3 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перенесем $\sin (3 x)$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin (3 x) \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 11.2

Умножим $\sin (3 x)$ на $\sin^{2} (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $\sin (3 x)$ в степень $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{1} (3 x) \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + {\sin (3 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 11.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 12

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) (3 \cdot 1)}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) \cdot 3}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 14.2

Перенесем $3$ влево от $\sin^{3} (3 x)$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 3 \sin^{3} (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}$