Математический анализ Примеры

$\frac{e^{x}}{8 x^{2}}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{e^{x}}{8 x^{2}}$ по $x$ равна $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - e^{x} (2 x)}{x^{4}}$

Этап 5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{x^{4}}$

Этап 5.2.2

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{8 x^{4}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок множителей в $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{8 x^{4}}$

Этап 6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x}{8 x^{4}}$

Этап 6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $x$ из $e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x (e^{x} x) - 2 e^{x} x}{8 x^{4}}$

Этап 6.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})}{8 x^{4}}$

Этап 6.3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})$ .

$\frac{x (e^{x} x - 2 e^{x})}{8 x^{4}}$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x - 2 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x$ .

$\frac{x (e^{x} (x) - 2 e^{x})}{8 x^{4}}$

Этап 6.3.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- 2 e^{x}$ .

$\frac{x (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2)}{8 x^{4}}$

Этап 6.3.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{8 x^{4}}$

$\frac{x e^{x} (x - 2)}{8 x^{4}}$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x e^{x} (x - 2)$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{8 x^{4}}$

Этап 6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $8 x^{4}$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x (8 x^{3})}$

Этап 6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x (8 x^{3})}$

Этап 6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{x} (x - 2)}{8 x^{3}}$