Математический анализ Примеры

${(\arctan (x))}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \arctan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\arctan (x)$ .

$2 \arctan (x) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 2

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$2 \arctan (x) \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{1 + x^{2}}$ и $2$ .

$\frac{2}{1 + x^{2}} \arctan (x)$

Этап 3.2

Объединим $\frac{2}{1 + x^{2}}$ и $\arctan (x)$ .

$\frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2 \arctan (x)}{x^{2} + 1}$